
\prob{0010}{立方求值}

已知$m, n$为实数，$m^3 + n^3 + 3mn = 1$，求$m + n$的值。
\problabels{yellow/代数, green/代数求值问题}

\ans{$m + n$的值为$1$或$-2$。}

\subsection{代数变换}

基本思路：通过将代数式$m^3 + n^3 + 3mn = 1$变换解出$m + n$的值。

\begin{align*}
  m^3 + n^3 + 3mn &= 1 \\
  m^3 + n^3 + 3m^2n + 3mn^2 &\\ - 3m^2n - 3mn^2 + 3mn &= 1 \\
  (m + n)^3 &\\ - 3mn(m + n) + 3mn &= 1 \\
  (m + n)^3 - 1 &= 3mn(m + n - 1) \\
  (m + n - 1)((m + n)^2 &\\ + (m + n) + 1) &= 3mn(m + n - 1) \\
\end{align*}

因此，当$m + n - 1 = 0$或$(m + n)^2 + (m + n) + 1 = 3mn$时，$m^3 + n^3 + 3mn = 1$。

当$m + n - 1 = 0$时，$m + n = 1$；当$m + n - 1 \ne 0$且$(m + n)^2 + (m + n) + 1 = 3mn$时，

\begin{align*}
  (m + n)^2 + (m + n) + 1 &= 3mn \\
  m^2 + n^2 + 2mn + m + n + 1 &= 3mn \\
  m^2 + n^2 - mn + m + n + 1 &= 0 \\
  2m^2 + 2n^2 - 2mn + 2m + 2n + 2 &= 0 \\
  (m^2 - 2mn + n^2) &\\ + (m^2 + 2m + 1) + (n^2 + 2n + 1) &= 0 \\
  (m - n)^2 + (m + 1)^2 + (n + 1)^2 &= 0 \\
  m = n &= -1 \\
  m + n &= -2 \\
\end{align*}

综上，$m + n$的值为$1$或$-2$。
